交错级数的敛散性怎么判断（交错级数）

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。交错级数的敛散性怎么判断，交错级数很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、7．3 任意项级数

2、 正项和负项可以任意出现的级数叫做任意项级数. 任意项级数的判敛问题是较复杂的. 我们主要讨论一种特殊的级数,即交错级数的收敛性. 交错级数的特征是它的通项的符号正、负项相间,所以它的收敛性有一定规律.

3、7．3．1 交错级数

4、定理1 (莱布尼兹准则) 若交错级数 中的序列 单调递减, 且 , 则

5、 (1) 收敛, 且其和满足

6、 (2) 它的第 n 项余和 的绝对值满足

7、 (满足定理1条件的级数称为莱布尼茨型交错级数)

8、例1 级数 , , 都是莱布尼茨型交错级数, 它们都收敛. 而级数 , , 却都发散. 这些交错级数是下面要讲的所谓条件收敛的级数.

9、*7.3.2: 绝对收敛与条件收敛

10、定理2：若级数 收敛, 则级数 收敛.

11、 对定理2可以作如下证明: 注意到 ,根据比较判定准则, 由 收敛, 推出 收敛. 再由定理6.1(四则运算),由于 收敛和 收敛,就推出 收敛.证毕 .

12、 由例1可以看出, 定理2的逆命题不成立. 因此不能由 发散推断 发散.( 但如果用达朗贝尔判别法或根值判别法判定了 发散, 则 必发散, 因为此时 .)

13、定义2：如果级数 收敛, 则称 绝对收敛；如果级数 发散, 而 收敛, 则称 为条件收敛.

14、例2：级数 绝对收敛( ). 因为 , 而 收敛.

15、例3：判别级数 的收敛性, 其中 .

16、解：用达朗贝尔判别法考察 的收敛性, 因为

17、 故当 时, 原级数绝对收敛；当 时, 原级数发散；当 时, 条件收敛；当 时, 发散. 概括起来, 当 , 1]时, 原级数收敛.

18、 绝对收敛级数有以下基本性质(证明从略).

19、性质1：若级数 绝对收敛, 其和为 S , 则任意交换其各项次序而得的新级数(称做原级数的更序级数)也绝对收敛, 其和仍为 S .

20、 这表明, 求有限项和使用的交换律, 对绝对收敛级数求“无限项之和”也适用. 然而条件收敛级数则不行. 对于条件收敛的级数, 适当更换其各项次序, 可使之收敛于任何给定的常数, 也可使它发散.(详细讨论可以参阅有关教科书)

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。