相关系数r的计算公式

相关系数 \( r \) 是统计学中用于衡量两个变量之间线性关系强度和方向的重要指标。它的取值范围在 -1 到 1 之间，其中 \( r = 1 \) 表示完全正相关，\( r = -1 \) 表示完全负相关，而 \( r = 0 \) 表示没有线性关系。

相关系数 \( r \) 的计算公式为：

\[

r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sum{(y_i - \bar{y})^2}}}

\]

在这个公式中，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示两个变量的观测值，\( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别是这两个变量的平均值。分子部分表示两个变量偏差乘积的总和，分母则是每个变量偏差平方和的开方乘积，用来标准化结果，使得 \( r \) 的取值被限制在 -1 到 1 之间。

相关系数的应用非常广泛。例如，在金融领域，投资者可以使用相关系数来分析不同股票之间的价格波动关系，从而构建更稳健的投资组合；在医学研究中，研究人员可能利用相关系数来探索某种药物剂量与患者康复效果之间的联系。此外，在社会科学、工程学等多个学科中，相关系数都是不可或缺的工具之一。

总之，相关系数 \( r \) 提供了一种量化描述变量间关系的方法，帮助我们更好地理解数据背后隐藏的趋势和规律。通过合理运用这一工具，我们可以做出更加科学合理的决策。